Основные методы решения иррациональных уравнений. Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I . Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II . Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III . Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х= 42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х= 2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень	1. Понятно. 2. Доступно.	1. Словесная запись. 2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ: 2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Равносильных преобразований	1. Отсутствие словесного описания. 2. Нет проверки. 3. Четкая логическая запись. 4. Последовательность равносильных переходов.	1. Громоздкая запись. 2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда - совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени - положительное (не целое) число.

D( f ).

Составим таблицу значений x и f ( x ).

	1,5		3,5
f(x)

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D ( g ).

Составим таблицу значений x и g ( x ).

g(x)

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f ( x ) возрастает, а функция g ( x ) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Функционально-графический	1. Наглядность. 2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ. 3. Позволяет найти количество решений.	1. словесная запись. 2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Введение новой переменной

Упрощение - получение системы уравнений, не содержащих радикалы

1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных

2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

- Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV . Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V . Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI . Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Изучая алгебру, школьники сталкиваются с уравнениями многих видов. Среди тех из них, которые наиболее простые, можно назвать линейные, содержащие одну неизвестную. Если переменная в математическом выражении возводится в определенную степень, то уравнение называют квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Указанные выражения могут содержать рациональные числа. Но существуют также уравнения иррациональные. От прочих они отличаются наличием функции, где неизвестное находится под знаком радикала (то есть чисто внешне переменную здесь можно увидеть написанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их следует обязательно учитывать.

«Невыразимые словами»

Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К таковым относятся, как известно, целые, выражаемые через обыкновенные и десятичные периодические дроби представители данного сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, иррациональные уравнения тоже учились решать. К примеру, греки знали подобные величины, но, облекая их в словесную форму, употребляли понятие «алогос», что означало «невыразимые». Несколько позднее европейцы, подражая им, называли подобные числа «глухими». От всех остальных они отличаются тем, что могут быть представлены только в форме бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще подобные представители царства чисел записываются в виде цифр и знаков как некоторое выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.

На основании вышесказанного попробуем дать определение иррациональному уравнению. Подобные выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Они могут представлять собой всевозможные довольно сложные варианты, но в своей наипростейшей форме имеют такой вид, как на фото ниже.

Преступая к решению иррациональных уравнений, перво-наперво необходимо вычислить область допустимых значений переменной.

Имеет ли смысл выражение?

Необходимость проверки полученных значений вытекает из свойств Как известно, подобное выражение приемлемо и имеет какой-либо смысл лишь при определенных условиях. В случаях корня четной степени все подкоренные выражения должны быть положительными или равняться нулю. Если данное условие не выполняется, то представленная математическая запись не может считаться осмысленной.

Приведем конкретный пример, как решать иррациональные уравнения (на фото ниже).

В данном случае очевидно, что указанные условия ни при каких значениях, принимаемых искомой величиной, выполняться не могут, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. А значит, решением может являться только Ø.

Метод анализа

Из вышеописанного становится понятно, как решать иррациональные уравнение некоторых типов. Здесь действенным способом может оказаться простой анализ.

Приведем ряд примеров, которые снова наглядно это продемонстрируют (на фото ниже).

В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу оказывается предельно ясно, что истинным оно быть не может. Действительно, ведь в левой части равенства должно получаться положительное число, которое никак не способно оказаться равным -1.

Во втором случае сумма двух положительных выражений может считаться равной нулю, лишь только когда х - 3 = 0 и х + 3 = 0 одновременно. А подобное опять невозможно. И значит, в ответе снова следует писать Ø.

Третий пример очень похож на уже рассмотренный ранее. Действительно, ведь здесь условия ОДЗ требуют, чтобы выполнялось следующее абсурдное неравенство: 5 ≤ х ≤ 2. А подобное уравнение аналогичным образом никак не может иметь здравых решений.

Неограниченное приближение

Природа иррационального наиболее ясно и полно может быть объяснена и познана только через нескончаемый ряд чисел десятичной дроби. А конкретным, ярким примером из членов этого семейства является πи. Не без оснований предполагается, что эта математическая константа была известна с древних времен, используясь при вычислении длин окружности и площади круга. Но среди европейцев ее впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.

Возникает эта константа следующим образом. Если сравнивать самые разные по длине окружности, то отношение их длин и диаметров в обязательном порядке равны одному и тому же числу. Это и есть πи. Если выразить его через обыкновенную дробь, то приблизительно получим 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого представлен на рисунке выше. Именно поэтому подобное число получило его имя. Но это не явное, а приближенное значение едва ли не самого удивительного из чисел. Гениальный ученый с точностью до 0,02 нашел искомую величину, но, по сути, данная константа не имеет реального значения, а выражается как 3,1415926535… Она представляет собой бесконечный ряд цифр, неограниченно приближаясь к некоему мифическому значению.

Возведение в квадрат

Но вернемся к иррациональным уравнениям. Чтобы отыскать неизвестное, в данном случае очень часто прибегают к простому методу: возводят обе части имеющегося равенства в квадрат. Подобный способ обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных величин. Все полученные в результате этого корни необходимо проверять, ведь они могут не подойти.

Но продолжим рассмотрение примеров и постараемся найти переменные вновь предложенным способом.

Совсем несложно, применив теорему Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных оперций у нас образовалось квадратное уравнение. Здесь получается, что среди корней будут 2 и -19. Однако при проверке, подставив полученные значение в изначальное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это частое явление в иррациональных уравнениях. Значит, наша дилемма вновь не имеет решений, а в ответе следует указать пустое множество.

Примеры посложней

В некоторых случаях требуется возводить в квадрат обе части выражения не один, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется указанное. Их можно увидеть ниже.

Получив корни, не забываем их проверять, ведь могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему такое возможно. При применении подобного метода происходит в некотором роде рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, которые мешают производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующую область значений, что чревато (как можно понять) последствиями. Предвидя подобное, мы и производим проверку. В данном случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: х = 0.

Системы

Что же делать в случаях, когда требуется осуществить решение систем иррациональных уравнений, и у нас в наличии не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как в обычных случаях, но с учетом вышеперечисленных свойств данных математических выражений. И в каждой новой задаче, разумеется, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше рассмотреть все на конкретном примере, представленном ниже. Здесь не просто требуется найти переменные х и у, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).

Как можно убедиться, подобная задача не представляет ничего сверхъестественно сложного. Требуется лишь проявить сообразительность и догадаться, что левая часть первого уравнения представляет собой квадрат суммы. Подобные задания встречаются в ЕГЭ.

Иррациональное в математике

Каждый раз потребность в создании новых видов чисел возникала у человечества тогда, когда ему не хватало «простора» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые великие мудрецы обратили на это внимание еще до нашей эры, веке в VII. Сделал это математик из Индии, известный под именем Манава. Он отчетливо понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. К примеру, к таковым относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.

Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к тому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Открыв математические элементы, которые не могут быть выражены цифровыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он настолько разозлил своих коллег, что был выброшен за борт корабля, в море. Дело в том, что другие пифагорейцы сочли его рассуждения бунтом против законов вселенной.

Знак радикала: эволюция

Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые о радикале начали задумываться европейские, в частности итальянские, математики приблизительно в XIII веке. Тогда же для обозначения придумали задействовать латинскую R. Но немецкие математики в своих работах поступали иначе. Им больше понравилась буква V. В германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), что призвано было выражать корень квадратный из 2, 3 и так далее. Позднее в дело вмешались нидерландцы и видоизменили знак радикала. А завершил эволюцию Рене Декарт, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.

Избавление от иррационального

Иррациональные уравнения и неравенства могут включать в себя переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самым распространенным способом от него избавиться является возможность возвести обе части равенства в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особенно не отличаются от тех, которые были уже разобраны нами ранее. Здесь должны быть учтены условия неотрицательности подкоренного выражения, а также по окончании решения необходимо производить отсев посторонних значений переменных таким образом, как было показано в рассмотренных уже примерах.

Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используется умножение выражения на сопряженное, а также нередко требуется введение новой переменной, что облегчает решение. В некоторых случаях, чтобы отыскать значение неизвестных, целесообразно применять графики.

Первая часть материала этой статьи формирует представление об иррациональных уравнениях. Изучив ее, Вы сможете с легкостью отличать иррациональные уравнения от уравнений других видов. Во второй части детально разобраны основные методы решения иррациональных уравнений, приведены подробные решения огромного количества характерных примеров. Если Вы осилите эту информацию, то почти наверняка справитесь практически с любым иррациональным уравнением из школьного курса математики. Успехов в получении знаний!

Что такое иррациональные уравнения?

Давайте для начала проясним, что такое иррациональные уравнения. Для этого найдем соответствующие определения в учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике утверждается, что

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x , значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – . Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. и Колягина Ю. М.

Определение

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более широкое множество уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про , и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. - здесь под знаком кубического корня расположена переменная x , поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: - здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Стоит сказать о количестве переменных, которые могут участвовать в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Заметим, что в школе в основном приходится работать с иррациональными уравнениями с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются значительно реже. Их можно встретить в составе , как, например, в задании «решите систему уравнений » или, скажем, при алгебраическом описании геометрических объектов, так полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, соответствует уравнение .

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги , а вот - из сборника . В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс

Определение

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь помимо уравнений с переменной под знаком корня иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: определяется через корни, и на переменной x для данного уравнения (при условии x 2 +2·x≥0 ) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений (о них речь пойдет в следующем пункте). Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

Простейшие иррациональные уравнения

Стоит сказать про так называемые простейшие иррациональные уравнения . Сразу скажем, что в основных учебниках алгебры и начал анализа этот термин не фигурирует, но иногда встречается в задачниках и методичках, как, например, в . Не стоит его считать общепринятым, но не помешает знать, что обычно понимают под простейшими иррациональными уравнениями. Обычно так называют иррациональные уравнения вида , где f(x) и g(x) некоторые . В этом свете простейшим иррациональным уравнением можно назвать, например, уравнение или .

Чем можно объяснить появление такого названия «простейшие иррациональные уравнения»? Например, тем, что решение иррациональных уравнений часто требует изначального их приведения к виду и дальнейшему применению каких-либо стандартных методов решения. Вот иррациональные уравнения в таком виде и называют простейшими.

Основные методы решения иррациональных уравнений

По определению корня

Один из методов решения иррациональных уравнений базируется на . С его помощью обычно решаются иррациональные уравнения простейшего вида , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения (определение простейших иррациональных уравнений мы дали в ). Аналогично решаются и иррациональные уравнения вида , но в которых f(x) и/или g(x) являются выражениями, отличными от рациональных. Однако во многих случаях такие уравнения удобнее решать другими методами, о которых речь пойдет в следующих пунктах.

Для удобства изложения материала отделим иррациональные уравнения с четными показателями корня, то есть, уравнения , 2·k=2, 4, 6, … , от уравнений с нечетными показателями корня , 2·k+1=3, 5, 7, … Сразу озвучим подходы к их решению:

Приведенные подходы напрямую следуют из и .

Итак, метод решения иррациональных уравнений по определению корня состоит в следующем :

По определению корня наиболее удобно решать простейшие иррациональные уравнения с числами в правых частях, то есть, уравнения вида , где C – некоторое число. Когда в правой части уравнения находится число, то даже при четном показателе корня не приходится переходить к системе: если С – неотрицательное число, то по определению корня четной степени , а если С – отрицательное число, то сразу можно делать вывод об отсутствии корней уравнения , ведь по определению корень четной степени есть неотрицательное число, значит уравнение не обращается в верное числовое равенство ни при каких действительных значениях переменной x .

Переходим к решению характерных примеров.

Будем идти от простого к сложному. Начнем с решения простейшего иррационального уравнения, в левой части которого находится корень четной степени, а в правой части - положительное число, то есть, с решения уравнения вида , где C – положительное число. Определение корня позволяет перейти от решения заданного иррационального уравнения к решению более простого уравнения без корней С 2·k =f(x) .

Аналогично по определению корня решаются простейшие иррациональные уравнения с нулем в правой части.

Отдельно остановимся на иррациональных уравнениях, в левой части которых находится корень четной степени с переменной под его знаком, а в правой – отрицательное число. Такие уравнения не имеют решений на множестве действительных чисел (про комплексные корни мы будем говорить после знакомства с комплексными числами ). Это довольно очевидно: корень четной степени по определению есть неотрицательное число, значит, он не может быть равен отрицательному числу.

Левые части иррациональных уравнений из предыдущих примеров были корнями четных степеней, а правые - числами. Сейчас рассмотрим примеры с переменными в правых частях, то есть, будем решать иррациональные уравнения вида . Для их решения по определению корня осуществляется переход к системе , которая имеет то же множество решений что и исходное уравнение.

Нужно иметь в виду, что систему , к решению которой сводится решение исходного иррационального уравнения , желательно решать не механически, а, по возможности, рационально. Понятно, что это больше вопрос из темы «решение систем », но все же перечислим три часто встречающихся ситуации с иллюстрирующими их примерами:

1. К примеру, если первое ее уравнение g 2·k (x)=f(x) не имеет решений, то нет смысла решать еще и неравенство g(x)≥0 , ведь уже из отсутствия решений уравнения можно сделать вывод об отсутствии решений системы.

1. Аналогично, если неравенство g(x)≥0 не имеет решений, то не обязательно решать еще и уравнение g 2·k (x)=f(x) , ведь и без этого понятно, что в этом случае система не имеет решений.

1. Довольно часто неравенство g(x)≥0 вообще не решают, а лишь проверяют, какие из корней уравнения g 2·k (x)=f(x) ему удовлетворяют. Множество всех тех из них, которые удовлетворяют неравенству, является решением системы, значит, является и решением равносильного ей исходного иррационального уравнения.

Достаточно про уравнения с четными показателями корней. Пора уделить внимание и иррациональным уравнениям с корнями нечетных степеней вида . Как мы уже сказали, для их решения осуществляется переход к равносильному уравнению , которое решается любыми доступными методами.

В заключение этого пункта упомянем про проверку решений . Метод решения иррациональных уравнений по определению корня гарантирует равносильность переходов. Значит, проверку найденных решений проводить не обязательно. Этот момент можно отнести к преимуществам данного метода решения иррациональных уравнений, ведь в большинстве других методов проверка является обязательным этапом решения, позволяющем отсечь посторонние корни . Но при этом следует помнить, что проверка путем подстановки найденных решений в исходное уравнение никогда не бывает лишней: вдруг где закралась вычислительная ошибка.

Также отметим, что вопрос проверки и отсеивания посторонних корней очень важен при решении иррациональных уравнений, поэтому мы еще вернемся к нему в одном из следующих пунктов этой статьи.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Дальнейшее изложение подразумевает наличие у читателя представления о равносильных уравнениях и уравнениях-следствиях .

В основе метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень лежит следующее утверждение:

Утверждение

возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Доказательство

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x 0 – его корень. Так как x 0 является корнем этого уравнения, то A(x 0)=B(x 0) – верное числовое равенство . Мы знаем такое свойство числовых равенств : почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x 0)=B(x 0) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x 0)=B 2·k (x 0) . А полученное равенство означает, что x 0 является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 - верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x 0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x 0)=B(x 0) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x 0)=B(x 0) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) , которое означает, что x 0 является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x 0 – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) - верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x 0)=B(x 0) . А это означает, что x 0 является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же нечетную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в четную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень в основном используется для решения иррациональных уравнений, так как в определенных случаях это преобразование позволяет освободиться от знаков корней. Например, возведение обеих частей уравнения в степень n дает уравнение , которое в дальнейшем можно преобразовать в уравнение f(x)=g n (x) , которое уже не содержит корня в левой части. Приведенный пример иллюстрирует суть метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень : при помощи соответствующего преобразования получить более простое уравнение, не имеющее в своей записи радикалов, и через его решение получить решение исходного иррационального уравнения.

Теперь можно переходить непосредственно к описанию метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Начнем с алгоритма решения по этому методу простейших иррациональных уравнений с четными показателями корня, то есть, уравнений вида , где k – натуральное число, f(x) и g(x) – рациональные выражения. Алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с нечетными показателями корня, то есть, уравнений вида , приведем чуть позже. Затем пойдем еще дальше: распространим метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень на более сложные иррациональные уравнения, содержащие корни под знаками корней, несколько знаков корней и т.д.

методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень :

Из приведенной выше информации понятно, что после первого шага алгоритма мы придем к уравнению, среди корней которого содержатся все корни исходного уравнения, но которое может иметь и корни, посторонние для исходного уравнения. Поэтому алгоритм содержит пункт про отсеивание посторонних корней.

Давайте разберем применение приведенного алгоритма решения иррациональных уравнений на примерах.

Начнем с решения несложного и довольно типичного иррационального уравнения, возведение обеих частей которого в квадрат приводит к квадратному уравнению, не имеющему корней.

Вот пример, в котором все корни уравнения, полученного из исходного иррационального уравнения путем возведения его обеих частей в квадрат, оказываются посторонними для исходного уравнения. Вывод: оно не имеет корней.

Следующий пример чуть сложнее. Его решение, в отличие от двух предыдущих, требует возведения обеих частей уже не в квадрат, а в шестую степень, и это приведет уже не к линейному или квадратному уравнению, а к кубическому уравнению. Здесь проверка нам покажет, что все три его корня будут корнями иррационального уравнения, заданного изначально.

А здесь пойдем еще дальше. Для избавления от корня придется возводить обе части иррационального уравнения в четвертую степень, что в свою очередь приведет к уравнению четвертой степени. Проверка покажет, что лишь один из четырех потенциальных корней будет искомым корнем иррационального уравнения, а остальные будут посторонними.

Три последних примера являются иллюстрацией следующего утверждения: если при возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень получается уравнение, имеющее корни, то последующая их проверка может показать, что

• либо все они являются посторонними корнями для исходного уравнения, и оно не имеет корней,
• либо среди них вообще нет посторонних корней, и все они являются корнями исходного уравнения,
• либо посторонними являются лишь некоторые из них.

Пришло время перейти к решению простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня, то есть, уравнений вида . Запишем соответствующий алгоритм.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень :

• Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
• Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Обратите внимание: приведенный алгоритм, в отличие от алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четным показателем корня, не содержит пункта, касающегося отсеивания посторонних корней. Выше мы показали, что возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием уравнения, значит, такое преобразование не приводит к появлению посторонних корней, поэтому нет необходимости в их отсеивании.

Таким образом, решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень можно проводить без отсеивания посторонних. При этом не забываем, что при возведении в четную степень проверка обязательна.

Знание этого факта позволяет на законных основаниях не проводить отсеивание посторонних корней при решении иррационального уравнения . Тем более в данном случае проверка связана с «неприятными» вычислениями. Посторонних корней и так не будет, так как проводится возведение в нечетную степень, а именно в куб, что является равносильным преобразованием. Понятно, что проверку можно и выполнить, но больше для самоконтроля, чтобы дополнительно убедиться в правильности найденного решения.

Подведем промежуточные итоги. В этом пункте мы, во-первых, пополнили уже известный нам арсенал решения различных уравнений еще одним преобразованием, заключающимся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При возведении в четную степень, данное преобразование может быть неравносильным, и при его использовании обязательно делать проверку для отсеивания посторонних корней. При возведении в нечетную степень, указанное преобразование является равносильным, и выполнять отсеивание посторонних корней необязательно. А во-вторых, научились пользоваться этим преобразованием для решения простейших иррациональных уравнений вида , где n – показатель корня, f(x) и g(x) – рациональные выражения.

Теперь пришло время взглянуть на возведение в одну и ту же степень обеих частей уравнения с общих позиций. Это позволит нам распространить базирующийся на нем метод решения иррациональных уравнений с простейших иррациональных уравнений на иррациональные уравнения более сложного вида. Давайте этим и займемся.

По сути, при решении уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется уже известный нам общий подход: исходное уравнение путем каких-либо преобразований преобразуется в более простое уравнение, оно преобразуется в еще более простое, и так далее, вплоть до уравнения, которое мы в состоянии решить. Понятно, что если в цепочке таких преобразований мы прибегаем к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень, то можно сказать, что мы действуем по одноименному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Остается лишь разобраться, какие именно преобразования и в какой последовательности нужно проводить для решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Вот общий подход к решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень :

• Во-первых, нужно перейти от исходного иррационального уравнения к более простому уравнению, чего обычно позволяет добиться циклическое выполнение следующих трех действий:
  • Уединение радикала (или аналогичные приемы, например, уединение произведения радикалов, уединение дроби, числителем и/или знаменателем которой является корень, позволяющие при последующем возведении обеих частей уравнения в степень избавиться от корня).
  • Упрощение вида уравнения.
• Во-вторых, нужно решить полученное уравнение.
• Наконец, если в процессе решения были переходы к уравнениям-следствиям (в частности, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень), то нужно отсеять посторонние корни.

Отработаем полученные знания на практике.

Решим пример, в котором уединение радикала приводит иррациональное уравнение к простейшему виду, после чего остается выполнить возведение обеих частей в квадрат, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни при помощи проверки.

Следующее иррациональное уравнение может быть решено путем уединения дроби с радикалом в знаменателе, избавиться от которого позволяет последующее возведение в квадрат обеих частей уравнения. А дальше все просто: решается полученное дробно-рациональное уравнение и делается проверка, исключающая попадание в ответ посторонних корней.

Довольно характерными являются иррациональные уравнения, в записи которых присутствуют два корня. Они обычно с успехом решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Если корни имеют одинаковую степень, и кроме них нет других слагаемых, то для избавления от радикалов достаточно уединить радикал и выполнить возведение в степень один раз, как в следующем примере.

А вот пример, в котором также два корня, помимо них также нет никаких слагаемых, но степени корней различны. В этом случае после уединения радикала целесообразно возводить обе части уравнения в степень, освобождающую от обоих радикалов сразу. В качестве такой степени выступает, например, показателей корней. В нашем случае степени корней равны 2 и 3 , НОК(2, 3)=6 , поэтому, мы будем возводить обе части в шестую степень. Заметим, что можно действовать и по стандартному пути, но в этом случае нам придется дважды прибегать к возведению обеих частей в степень: сначала во вторую, затем в третью. Покажем оба способа решения.

В более сложных случаях, решая иррациональные уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, к возведению в степень приходится прибегать два раза, реже – три раза, еще реже - большее число раз. Первое иррациональное уравнение, иллюстрирующее сказанное, содержит в записи два радикала и еще одно слагаемое.

Решение следующего иррационального уравнения тоже требует двух последовательных возведений в степень. Если не забывать уединять радикалы, то двух возведений в степень достаточно, чтобы избавиться от трех присутствующих в его записи радикалов.

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет справляться и с иррациональными уравнениями, в которых под корнем, содержится еще один корень. Вот решение характерного примера.

Наконец, прежде чем переходить к разбору следующих методов решения иррациональных уравнений, нужно обязательно отметить тот факт, что возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень может в результате дальнейших преобразований дать уравнение, имеющее бесконечное множество решений. Уравнение, имеющее бесконечно много корней, получается, например, в результате возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения и последующего упрощения вида полученного уравнения. При этом по понятным причинам мы не имеем возможности выполнить проверку подстановкой. В таких случаях приходится либо прибегать к другим способам проверки, о которых мы поговорим , либо отказаться от метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения, например, в пользу метода, предполагающего .

Мы рассмотрели решения наиболее характерных иррациональных уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Изученный общий подход позволяет справиться и с другими иррациональными уравнениями, если для них вообще подходит этот метод решения.

Метод введения новой переменной

Когда еще довольно легко просматривается возможность введения новой переменной? Когда в записи уравнения фигурируют «перевернутые» дроби и (с Вашего позволения будем называть их взаимно обратными по аналогии со ). Как бы мы решали рациональное уравнение с такими дробями? Мы бы одну из таких дробей приняли за новую переменную t , при этом другая дробь выразилась бы через новую переменную как 1/t. В иррациональных же уравнениях так вводить новую переменную не совсем практично, так как для дальнейшего избавления от корней, скорее всего, придется вводить еще одну переменную. Лучше сразу принимать в качестве новой переменной корень из дроби. Ну а дальше преобразовать исходное уравнение при помощи одного из равенств и , что позволит перейти к уравнению с новой переменной. Рассмотрим пример.

Не стоит забывать про уже известные варианты замен. Например, в записи иррационального уравнения могут фигурировать выражения x+1/x и x 2 +1/x 2 , что заставляет задуматься о возможности введения новой переменной x+1/x=t . Эта мысль возникает не случайно, ведь мы так уже делали, когда решали возвратные уравнения . Такой способ введения новой переменной, как и другие уже известные нам способы, следует иметь в виду при решении иррациональных уравнений, как впрочем, и уравнений других видов.

Переходим к более сложным иррациональным уравнениям, в которых подходящее для введения новой переменной выражение разглядеть сложнее. И начнем с уравнений, в которых подкоренные выражения одинаковы, но, в отличие от разобранного выше случая, больший показатель одного корня не делится нацело на меньший показатель другого корня. Давайте разберемся, как правильно выбрать выражение, подходящее для введения новой переменной в таких случаях.

Когда подкоренные выражения одинаковые, а больший показатель одного корня k 1 не делится нацело на меньший показатель другого корня k 2 , в качестве новой переменной можно принять корень степени НОК(k 1 , k 2) , где НОК – . Например, в иррациональном уравнении показатели корней равны 2 и 3 , три не кратно двум, НОК(3, 2)=6 , поэтому новую переменную можно ввести как . Дальше определение корня, а также свойства корней позволяют преобразовать исходное уравнение, чтобы явно выделить выражение и дальше заменить его новой переменной. Приведем полное и подробное решение этого уравнения.

По аналогичным принципам вводится новая переменная в случаях, когда выражения под корнями отличаются степенями. Например, если в иррациональном уравнении переменная содержится только под корнями, а сами корни имеют вид и , то следует вычислить наименьшее общее кратное показателей корней НОК(3, 4)=12 и принять . При этом по свойствам корней и степеней корни и следует преобразовать как и соответственно, что позволит ввести новую переменную.

Похожим образом можно действовать и в иррациональных уравнениях, в которых под корнями с разными показателями находятся взаимно обратные дроби и . То есть, в качестве новой переменной целесообразно принимать корень с показателем, равным НОК показателей корней. Ну а дальше переходить к уравнению с новой переменной, что позволяют сделать равенства и , определение корня, а также свойства корней и степеней. Рассмотрим пример.

Теперь поговорим об уравнениях, в которых возможность введения новой переменной можно лишь подозревать, и которая при удачном раскладе открывается только после довольно серьезных преобразований. Например, иррациональное уравнение лишь после ряда не самых очевидных преобразований приводится к виду , что открывает дорогу к замене . Приведем решение этого примера.

Напоследок внесем немного экзотики. Иногда иррациональное уравнение можно решить путем введения не одной, а нескольких переменных. Такой подход к решению уравнений предложен в учебнике . Там для решения иррационального уравнения предлагается ввести две переменные . В учебнике приведено краткое решение, давайте восстановим и детали.

Решение иррациональных уравнений методом разложения на множители

Помимо метода введения новой переменной, для решения иррациональных уравнений используются и другие общие методы, в частности, метод разложения на множители . В статье по указанной в предыдущем предложении ссылке подробно разобрано, когда применяется метод разложения на множители, в чем его суть и на чем он основан. Здесь нас больше интересует не сам метод, а его использование при решении иррациональных уравнений. Поэтому материал представим так: кратко напомним основные положения метода, после чего будем подробно разбирать решения характерных иррациональных уравнений методом разложения на множители.

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левых частях которых находится некоторое произведение, а в правых – нули, то есть, для решения уравнений вида f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 , где f 1 , f 2 , …, f n – некоторые функции. Суть метода состоит в замене уравнения f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 на переменной x для исходного уравнения.

Первая часть последнего предложения про переход к совокупности следует из известного с начальной школы факта: произведение нескольких чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Наличие второй части про ОДЗ объясняется тем, что переход от уравнения f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 к совокупности уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 может быть неравносильным и приводить к появлению посторонних корней , от которых в данном случае позволяет избавиться учет ОДЗ. Стоит отметить, что отсеивание посторонних корней, если это удобно, может быть проведено не только через ОДЗ, но и другими способами, например, проверкой через подстановку найденных корней в исходное уравнение.

Итак, чтобы решить уравнение f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 методом разложения на множители, в том числе и иррациональное, нужно

• Перейти к совокупности уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 ,
• Решить составленную совокупность,
• Если совокупность решений не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же корни есть, то отсеять посторонние корни.

Переходим к практической части.

Левые части типичных иррациональных уравнений, которые решаются методом разложения на множители, представляют собой произведения нескольких алгебраических выражений, обычно линейных двучленов и квадратных трехчленов, и нескольких корней с алгебраическими выражениями под ними. В правых частях нули. Такие уравнения идеальны для получения начальных навыков их решения. С решения подобного уравнения начнем и мы. При этом попробуем достичь двух целей:

• рассмотреть все шаги алгоритма метода разложения на множители при решении иррационального уравнения,
• вспомнить три основных способа отсеивания посторонних корней (по ОДЗ, по условиям ОДЗ и при помощи непосредственной подстановки решений в исходное уравнение).

Следующее иррациональное уравнение типично в том плане, что при его решении методом разложения на множители отсеивание посторонних корней удобно проводить по условиям ОДЗ, а не по ОДЗ в виде числового множества, так как получить ОДЗ в виде числового множителя затруднительно. Сложность в том, что одно из условий, определяющих ОДЗ, представляет собой иррациональное неравенство . Указанный подход к отсеиванию посторонних корней позволяет обойтись без его решения, более того, иногда в школьном курсе математики вообще не знакомятся с решением иррациональных неравенств.

Хорошо, когда уравнение имеет в левой части произведение, а в правой – ноль. В этом случае сразу можно переходить к совокупности уравнений, решить ее, найти и отбросить посторонние для исходного уравнения корни, что даст искомое решение. Но чаще уравнения имеют иной вид. Если при этом просматривается возможность преобразовать их к виду, подходящему для применения метода разложения на множители, то почему бы не попробовать провести соответствующие преобразования. Например, чтобы получить произведение в левой части следующего иррационального уравнения, достаточно прибегнуть к разность квадратов.

Есть еще один класс уравнений, которые обычно решают методом разложения на множители. К нему относятся уравнения, обе части которых являются произведениями, имеющими одинаковый множитель в виде выражения с переменной. Таково, например, иррациональное уравнение . Можно пойти путем деления обеих частей уравнения на одинаковый множитель, но при этом нельзя забывать отдельно проверять значения, обращающие в нуль это выражения, иначе можно потерять решения, ведь деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение может быть неравносильным преобразованием. Надежнее действовать по методу разложения на множители, это позволяет гарантированно избежать потери корней при дальнейшем корректном решении. Понятно, что для этого надо сначала получить в левой части уравнения произведение, а в правой части получить ноль. Это легко: достаточно перенести выражение из правой части в левую, изменив его знак, и вынести общий множитель за скобки. Покажем полное решение подобного, но чуть более сложного иррационального уравнения.

Решение любого уравнения (как, впрочем, и решение многих других задач) полезно начинать с нахождения ОДЗ, особенно если ОДЗ находится легко. Приведем несколько самых очевидных доводов в пользу этого.

Итак, получив задание решить уравнение, не стоит без оглядки бросаться в преобразования-вычисления, может достаточно взглянуть на ОДЗ? Это ярко демонстрирует следующее иррациональное уравнение.

Функционально-графический метод

Графический метод

Использование свойств возрастающих и убывающих функций

Как мы уже отмечали, графический способ решения иррациональных уравнений неудобен в тех случаях, когда выражения в левой и правой части уравнения довольно сложные в том смысле, что непросто построить соответствующие графики функций. Но довольно часто вместо графиков можно обращаться к свойствам функций. Существует метод решения уравнений, использующий монотонность функций , отвечающих частям уравнения. В частности, этот метод позволяет решать иррациональные уравнения. Он базируется на следующем утверждении:

Утверждение

если на множестве X функция f определена и строго монотонна (возрастает или убывает), то уравнение f(x)=C , где C – некоторое число, либо имеет один единственный корень, либо не имеет корней на указанном множестве.

К нему сводится и следующее утверждение:

Утверждение

если на множестве X функции f и g определены и одна из них возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо имеет один единственный корень, либо не имеет корней на множестве X .

Данные утверждения обычно используются для решения уравнений тогда, когда есть возможность каким-либо способом определить один корень уравнения, и можно доказать возрастание-убывание соответствующих функций.

Что касается нахождения корня уравнения, то он в характерных случаях очевиден или легко угадывается. Обычно корнем иррационального уравнения является какое-то число из ОДЗ, при подстановке которого в исходное уравнение под корнями получаются такие числа, корни из которых легко извлекаются.

Что касается доказательства возрастания-убывания функций, то оно обычно проводится с опорой на свойства основных элементарных функций и известные свойства возрастающих и убывающих функций (типа корень из возрастающей функции есть возрастающая функция), либо в более сложных случаях для доказательства привлекается производная.

Разберем эти моменты при решении иррациональных уравнений.

Начнем с решения типового иррационального уравнения: доказывается возрастание функции, отвечающей одной из его частей, убывание функции, соответствующей другой части уравнения, и из ОДЗ переменной для уравнения подбирается корень, который в данном случае будет единственным.

Следующее иррациональное уравнение тоже приходится решать функционально-графическим методом. Корень уравнения находится легко, как и в предыдущем примере, но здесь возрастание одной функции и убывание другой функции приходится доказывать с использованием производной.

Подведем некоторый итог по вопросу использования свойств возрастания и убывания функций при решении уравнений:

• если виден корень уравнения, то можно пробовать исследовать функции, соответствующие левой и правой части уравнения, на возрастание-убывание. Возможно, это позволит доказать единственность найденного корня.
• если видно, что одна из функций f и g убывает, а другая - возрастает, то стоит пробовать найти единственный возможный корень уравнения любым доступным способом. Если удастся найти этот корень, то уравнение будет решено.

Метод оценки

Наконец, мы подобрались к последней из трех основных разновидностей функционально-графического метода решения уравнений, в основе которой лежит использование ограниченности функций. Давайте условимся эту разновидность функционально-графического метода называть методом оценки .

Методом оценки обычно решают уравнения, имеющие вид f(x)=C , где f(x) – некоторое выражение с переменной x (а f – соответствующая функция), C – некоторое число, или вид g(x)=h(x) , где g(x) и h(x) – некоторые выражения с переменной x (а g и h – соответствующие функции). Заметим, что уравнение g(x)=h(x) всегда можно свести к равносильному уравнению вида f(x)=C (в частности, осуществив перенос выражения h(x) из правой части в левую с противоположным знаком), то есть, можно ограничиться рассмотрением метода оценки только для уравнений вида f(x)=C . Однако иногда довольно удобно работать с уравнениями вида g(x)=h(x) , так что не будем отказываться от их рассмотрения.

Решение уравнений методом оценки проводится в два этапа. Первый этап – это оценка значений функции f (или соответствующего выражения f(x) , что по сути одно и то же), если решается уравнение f(x)=C , или оценка значений функций g и h (или соответствующих выражений f(x) и g(x) ), если решается уравнение g(x)=h(x) . Второй этап – это использование полученных оценок для дальнейшего поиска корней уравнения или обоснования их отсутствия. Разъясним эти моменты.

Как оцениваются значения функций? Этот вопрос детально разобран в . Здесь мы ограничимся перечислением способов оценки, которые наиболее часто используются при решении методом оценки именно иррациональных уравнений. Вот этот список способов оценки:

• Оценка на основании определения корня с четным показателем. Так как по определению корень с четным показателем есть неотрицательное число, то для любого x из ОДЗ для выражения , где n – натуральное число, p(x) – некоторое выражение, справедливо неравенство , причем тогда и только тогда, когда p(x)=0 .
• Оценка на основании следующего свойства корней: для любых неотрицательных чисел a и b , a , ≥ ), выполняется неравенство (≤ , > , ≥ ). Если для любого x из ОДЗ для выражения выполняется неравенство p(x) , ≥ ), где c – некоторое неотрицательное число, то для любого x из ОДЗ справедливо неравенство (≤ , > , ≥ ).
• Оценка на базе того факта, что степень любого числа с четным показателем есть неотрицательное число. Для любого x из ОДЗ для выражения p 2·n (x) справедливо неравенство p 2·n (x)≥0 , причем p 2·n (x)=0 тогда и только тогда, когда p(x)=0 .
• Оценка значений квадратного трехчлена. Для оценки можно использовать ординату вершины параболы, и при отрицательном дискриминанте - ноль.
  • Если a>0 , то a·x 2 +b·x+c≥y 0 , где y 0 – ордината вершины параболы, а если a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .
  • Если a>0 и дискриминант D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0 , а если a<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .
• Оценка на базе свойств числовых неравенств.
• Оценка через наибольшее и наименьшее значение функции, найденное с использованием производной. Если A - наименьшее значение функции p на множестве X , то на X справедливо неравенство p(x)≥A . Если B - наибольшее значение функции p на множестве X , то на X справедливо неравенство p(x)≤B .

Допустим, с первым этапом мы справились, то есть, оценили значения функций. Возникает логичный вопрос о том, как дальше использовать полученные оценки для решения уравнения. А дальше нужно сослаться на одно из следующих утверждений:

Положения второго блока утверждений следуют из свойств сложения и умножения верных числовых неравенств одного смысла.

Первый блок положений становится понятен, если представить взаимное расположение графика функции f и прямой y=C , а положения остальных блоков – если представить взаимное расположение графиков функций g и h .

Разберем первый блок утверждений. Когда график функции f ниже или не выше прямой y=A , которая в свою очередь ниже прямой y=C , то понятно, что он не пересекается с прямой y=C , из этого вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C . Когда график функции f выше или не ниже прямой y=B , которая в свою очередь выше прямой y=C , то понятно, что он не пересекается с прямой y=C , из этого вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C . Когда график функции f ниже или выше прямой y=С , то понятно, что он не пересекается с этой прямой, из этого также вытекает отсутствие корней уравнения f(x)=C .

Теперь обоснуем третий блок утверждений. Пусть на множестве X значения функции g меньше или не больше числа A , а значения функции h больше или не меньше числа B . Это означает, что все точки графика функции g находятся ниже или не выше прямой y=A , а точки графика функции h – выше или не ниже прямой y=B . Понятно, что на множестве X при A

Переходим к четвертому блоку утверждений. Здесь в первом случае один график расположен ниже этой прямой, другой – выше этой прямой. Во втором случае один график не выше этой прямой, другой – выше этой прямой. В третьем случае один график ниже этой прямой, другой – не ниже этой прямой. Понятно, что во всех случаях графики не имеют общих точек, значит, уравнение g(x)=h(x) не имеет решений.

В последней ситуации график одной функции не выше прямой y=C , а график другой функции – не ниже этой прямой. При этом понятно, что графики могут иметь общие точки только на этой прямой. Это и объясняет переход от уравнения g(x)=h(x) к системе .

Можно переходить к практике. Рассмотрим решения характерных иррациональных уравнений методом оценки.

Для начала стоит разобраться с вопросом точности оценки значений выражений. Чтобы было понятно, откуда берется такой вопрос, посмотрите на три оценки значений корня : первая , вторая , третья , и скажите, какую предпочесть? Ну, первую отбросим, так как она по большей части надумана, а вот вторая и третья оценки вполне рабочие, и в зависимости от ситуации может быть использована и первая из них, сравнительно грубая, и вторая. Посмотрим на этот вопрос с позиций практики.

Для доказательства того, что уравнение не имеет решений, бывает достаточно грубых оценок. Основное преимущество грубых оценок перед более точными оценками состоит в относительной простоте их получения. Грубые оценки практически очевидны и не требуют дополнительных исследований, так как в их основе лежат хорошо известные факты, такие как: квадратный корень – это неотрицательное число, модуль – это неотрицательное число, квадрат числа – это неотрицательное число, сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше двух, значения квадратного трехчлена с отрицательным старшим членом и отрицательным дискриминантом - отрицательные и т.п. Так для решения следующего иррационального уравнения методом оценки достаточно грубой оценки корня с одной стороны и квадратного трехчлена с другой стороны.

Обычно проще получить грубые оценки значений функций или выражений, чем точные. Но довольно часто грубые оценки не позволяют сделать выводы о корнях решаемых уравнений, в то время как более точные оценки дают такую возможность. Давайте решим типовое иррациональное уравнение.

Начнем с решения простого, но очень характерного иррационального уравнения: оценка значений его левой части вытекает из оценок составляющих ее корней, и из полученной оценки следует вывод об отсутствии корней уравнения.

Интереснее обстоит дело, когда выражение, отвечающее левой части иррационального уравнения f(x)=C , представляет собой сумму или произведение нескольких выражений и его значения оцениваются как f(x)≤C или f(x)≥C . В таких случаях записанные выше утверждения предписывают переходить от исходного иррационального уравнения к равносильной системе уравнений. Приведем решение характерного иррационального уравнения.

Закрепим навыки перехода по методу оценки от иррационального уравнения f(x)=C с суммой или произведением в левой части к равносильной системе уравнений. Для этого решим сравнительно сложное иррациональное уравнение, левая часть которого представляет собой сумму двух иррациональных выражений, одно из которых является произведением двух выражений. Принцип решения тот же: получаем оценку, которая позволяет перейти от исходного уравнения к равносильной системе.

Перейдем к иррациональным уравнениям вида g(x)=h(x) .

Предыдущие примеры были довольно простые в плане оценки значений выражений и функций. Пришло время проработать аспект оценки более детально. По понятным причинам упор сделаем на способах оценки, к которым приходится прибегать наиболее часто при решении методом оценки именно иррациональных уравнений. Начнем со способов оценки, не требующих нахождения производной. Так чтобы решить следующее иррациональное уравнение, придется привлечь чуть ли не все известные средства: от свойства степеней с четным показателем и свойства монотонности функции извлечения корня до оценок на базе свойств числовых равенств.

Способы получения оценок, которые мы использовали во всех предыдущих примерах, не закрывают вопрос оценки значений полностью. Другими словами, не всегда с их помощью удается оценить значения функций и выражений. В частности, рассмотренные способы нехороши, когда область допустимых значений переменной x для решаемого иррационального уравнения отлична от множества всех действительных чисел R . В качестве примера приведем оценку корня в двух случаях: когда ОДЗ есть множество R и когда ОДЗ есть отрезок от 3 до 5 . Опираясь на способы оценки, которыми мы пользовались выше, мы можем получить оценку . Для случая, когда ОДЗ есть множество R , эта оценка очень даже хороша. Но для случая, когда ОДЗ есть отрезок , записанная оценка уже оказывается сравнительно грубой, и есть возможность оценить корень более точно, а именно как . Но не только ОДЗ ограничивает возможности получения оценок разобранными выше способами. Часто эти способы не дают возможности оценить значения функции из-за вида оцениваемой функции. Например, способы оценки, о которых мы говорим, позволяют оценить значения корней и , а также их сумму: , , откуда и дальше . Но эти способы оценки уже не позволяют оценить значения разности указанных корней. В подобных ситуациях приходится прибегать к исследованию функции, нахождению ее наибольшего и наименьшего значений, через которые и оценивать значения функции. Иногда удобно комбинировать различные способы получения оценок. Покажем решение характерного иррационального уравнения.

Завершая разговор о решении иррациональных уравнений функционально-графическим методом и методом оценки в частности, вспомним про одно обещание, данное в в конце пункта, посвященного . Помните, мы решили иррациональное уравнение довольно экзотическим способом через введение двух новых переменных (до которого еще надо было додуматься), и обещали показать его решение более стандартным методом. Таким методом в данном случае выступает именно метод оценки. Так выполним обещанное.

Решение иррациональных уравнений через ОДЗ

Очень часто частью процесса решения уравнений является . Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. Здесь мы имеем в виду две ситуации: когда ОДЗ есть пустое множество и когда ОДЗ есть конечный набор чисел.

Понятно, что если ОДЗ уравнения, в частности, иррационального, есть пустое множество, то уравнение не имеет решений. Так ОДЗ переменной x для следующего иррационального уравнения является пустым множеством, откуда следует, что уравнение не имеет решений.

Когда ОДЗ переменной для уравнения представляет собой конечный набор чисел, то последовательно осуществляя проверку подстановкой этих чисел можно получить решение уравнения. Для примера рассмотрим иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.

Решение иррациональных уравнений вида «дробь равна нулю»

Иррациональные уравнения, сводящиеся к числовым равенствам

Переход к модулям

Если в записи иррационального уравнения под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня, то можно осуществить переход к модулю. Такое преобразование имеет место в силу одного из , которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения . Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.

Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.

Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.

В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получиться, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.

В заключение этого пункта вернемся к иррациональному уравнению . В предыдущем пункте мы его уже решали и увидели, что попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат привела к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня было сопряжено с решением иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.

Преобразование иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без их преобразования. К моменту изучения иррациональных уравнений мы уже знакомы с равносильными преобразованиями уравнений . При решении иррациональных уравнений они используются так же, как и при решении ранее изученных видов уравнений. Примеры проведения таких преобразований иррациональных уравнений Вы видели в предыдущих пунктах, и, согласитесь, они довольно естественно воспринимались, так как хорошо нам знакомы. Выше мы узнали и про новое для нас преобразование – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которое типично для иррациональных уравнений, оно в общем случае не является равносильным. Про все эти преобразования стоит поговорить детально, чтобы знать все тонкие моменты, возникающие при их проведении, и не допускать ошибок.

Будем разбирать преобразования иррациональных уравнений в следующей последовательности:

1. Замена выражений тождественно равными им выражениями, не изменяющими ОДЗ.
2. Прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же числа из обеих частей уравнения.
3. Прибавление одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, из обеих частей уравнения.
4. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
5. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
6. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, не изменяющее область допустимых значений переменной и не обращающееся на ней в нуль.
7. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Итак, круг вопросов очерчен. Начнем разбираться с ними на примерах.

Первое интересующее нас преобразование – это замена выражений в уравнении тождественно равными им выражениями. Мы знаем, что оно является равносильным, если ОДЗ для уравнения, полученного в результате преобразования, такая же, как ОДЗ для исходного уравнения. Из этого понятно, что есть две основные причины возникновения ошибок при проведении этого преобразования: первая – это изменение ОДЗ, происходящее в результате проведенного преобразования, вторая – это замена выражения не тождественно равным ему выражением. Разберем эти аспекты подробно и по порядку, рассматривая примеры типичных преобразований этого вида.

Сначала пробежимся по типичным преобразованиям уравнений, заключающимся в замене выражения тождественно равным ему выражением, которые всегда являются равносильными. Вот соответствующий список.

• Перестановка местами слагаемых и множителей. Это преобразование можно проводить как в левой, так и в правой части иррационального уравнения. Оно может использоваться, например, для группировки и последующего приведения подобных слагаемых с целью упрощения вида уравнения. Перестановка местами слагаемых или множителей, очевидно, является равносильным преобразованием уравнения. Оно и понятно: исходное выражение и выражение с переставленными местами слагаемыми или множителями являются тождественно равными (если, конечно, перестановка осуществлена корректно), и очевидно, что такое преобразование не изменяет ОДЗ. Приведем пример. В левой части иррационального уравнения в произведении x·3·x можно переставить местами первый и второй множители x и 3 , что в дальнейшем позволит представить многочлен, находящийся под знаком корня, в стандартном виде. А в правой части уравнения в сумме 4+x+5 можно провести перестановку местами слагаемых 4 и x , что в дальнейшем позволит выполнить сложение чисел 4 и 5 . После указанных перестановок иррациональное уравнение примет вид , полученное уравнение равносильно исходному.
• Раскрытие скобок. Равносильность этого преобразования уравнений очевидна: выражения до и после раскрытия скобок являются тождественно равными и имеют одинаковую область допустимых значений. Для примера возьмем иррациональное уравнение . Его решение требует раскрытия скобок. Раскрыв скобки в левой части уравнения, а также в правой части уравнения придем к равносильному уравнению .
• Группировка слагаемых и/или множителей. Это преобразование уравнения по своей сути представляет замену какого-либо выражения, являющегося частью уравнения, тождественно равным ему выражением со сгруппированными слагаемыми или множителями. Очевидно, при этом не изменяется ОДЗ. Значит, указанное преобразование уравнения является равносильным. Для иллюстрации возьмем иррациональное уравнение . Перестановка слагаемых (о ней мы говорили двумя абзацами выше) и группировка слагаемых позволяет перейти к равносильному уравнению . Цель подобной группировки слагаемых отчетливо просматривается - провести следующее равносильное преобразование , что позволит ввести новую переменную.
• Вынесение за скобки общего множителя. Понятно, что выражения до вынесения общего множителя за скобки и после вынесения за скобки общего множителя являются тождественно равными. Также понятно, что вынесение общего множителя за скобки не изменяет ОДЗ. Поэтому, вынесение за скобки общего множителя в выражении, находящемся в составе уравнения, является равносильным преобразованием уравнения. Такое преобразование используется, например, для представления левой части уравнения в виде произведения с целью его решения методом разложения на множители. Вот конкретный пример. Рассмотрим иррациональное уравнение . Левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения, для этого нужно вынести за скобки общий множитель . В результате этого преобразования будет получено иррациональное уравнение , равносильное исходному, которое может быть решено методом разложения на множители.
• Замена числовых выражений их значениями. Понятно, что если в записи уравнения присутствует некоторое числовое выражение, и мы заменим это числовое выражение его значением (правильно вычисленным), то такая замена будет равносильной. Действительно, ведь по сути происходит замена выражения тождественно равным ему выражением и при этом не изменяется ОДЗ уравнения. Так, заменив в иррациональном уравнении сумму двух чисел −3 и 1 значением этой суммы, которое равно −2 , получим равносильное иррациональное уравнение . Аналогично можно провести равносильное преобразование иррационального уравнения , выполнив действия с числами под знаком корня (1+2=3 и ), это преобразование приведет нас к равносильному уравнению .
• Выполнение действий с одночленами и многочленами, находящимися в записи иррационального уравнения. Понятно, что правильное выполнение этих действий будет приводить к равносильному уравнению. Действительно, при этом будет происходить замена выражения тождественно равным ему выражением и не будет изменяться ОДЗ. К примеру, в иррациональном уравнении можно сложить одночлены x 2 и 3·x 2 и перейти к равносильному ему уравнению . Еще пример: вычитание многочленов в левой части иррационального уравнения является равносильным преобразованием, которое приводит к равносильному уравнению .

Продолжаем рассматривать преобразования уравнений, состоящие в замене выражений тождественно равными им выражениями. Такие преобразования могут быть и неравносильными, так как могут изменять ОДЗ. В частности, может происходить расширение ОДЗ. Это может иметь место при приведении подобных слагаемых, при сокращении дробей, при замене нулем произведения с несколькими нулевыми множителями или дроби с равным нулю числителем и наиболее часто при использовании формул, соответствующих свойствам корней. Кстати, небрежное использование свойств корней может приводить и к сужению ОДЗ. И если преобразования, расширяющие ОДЗ, допустимы при решении уравнений (они могут быть причиной возникновения посторонних корней, которые определенным образом отсеиваются), то от преобразований, сужающих ОДЗ, нужно в обязательном порядке отказаться, так как они могут быть причиной потери корней. Остановимся на этих моментах.

Первое иррациональное уравнение таково . Его решение начинается с преобразования уравнения к виду на базе одного из свойств степеней. Это преобразование является равносильным, так как выражение заменяется тождественно равным выражением, и ОДЗ при этом не изменяется. А вот следующий переход к уравнению , проводящийся на базе определения корня, уже может быть неравносильным преобразованием уравнения, так как при таком преобразовании расширяется ОДЗ. Покажем полное решение этого уравнения.

Второе иррациональное уравнение, хорошо подходящее для иллюстрации того, что преобразования иррациональных уравнений с использованием свойств корней и определения корня могут быть неравносильными, имеет вид . Хорошо, если Вы не позволите себе начинать решение так

Или так

Начинаем с первого случая. Первое преобразование - переход от исходного иррационального уравнения к уравнению состоит в замене выражения x+3 выражением . Эти выражения тождественно равные. Но при такой замене происходит сужение ОДЗ с множества (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множества [−1, +∞) . А мы договорились отказаться от преобразований, сужающих ОДЗ, так как они могут приводить к потере корней.

А что не так во втором случае? Расширение ОДЗ при последнем переходе от к числом −3 ? Не только это. Большую озабоченность вызывает первый переход от исходного иррационального уравнения к уравнению . Суть этого перехода – замена выражения x+3 выражением . Но эти выражения не являются тождественно равными: при x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , откуда следует, что .

Так как же тогда решать это иррациональное уравнение ? Здесь лучше всего сразу вводить новую переменную , при этом (x+3)·(x+1)=t 2 . Приведем подробное решение.

Подведем итог по первому из разбираемых преобразований уравнений – замене выражения, находящегося в составе уравнения, тождественно равным ему выражением. Каждый раз при его проведении необходимо выполнение двух условий: первое - чтобы выражение заменялось именно тождественно равным выражением и второе - чтобы при этом не происходило сужение ОДЗ. Если при такой замене ОДЗ не изменяется, то в результате преобразования получится равносильное уравнение. Если при такой замене происходит расширение ОДЗ, то могут появиться посторонние корни, и необходимо позаботиться об их отсеивании.

Переходим ко второму преобразованию списка – прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же числа и вычитанию из обеих частей уравнения одного и того же числа. Это равносильное преобразование уравнения. Обычно мы прибегаем к нему, когда в левой и правой части уравнения находятся одинаковые числа, вычитание из обеих частей уравнения этих чисел позволяет в дальнейшем избавиться от них. Например, и в левой и в правой части иррационального уравнения есть слагаемое 3 . Вычитание тройки из обеих частей уравнения приводит к уравнению , которое после выполнения действий с числами принимает вид и дальше упрощается до . По результату рассматриваемое преобразование перекликается с переносом слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, но об этом преобразовании чуть позже. Есть и другие примеры применения этого преобразования. Например, в иррациональном уравнении прибавление к обеим частям числа 3 нужно для организации полного квадрата в левой части уравнения и дальнейшего преобразования уравнения к виду с целью введения новой переменной.

Обобщение только что рассмотренного преобразования – это прибавление к обеим частям уравнения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения. Это преобразование уравнений является равносильным тогда, когда не изменяется ОДЗ. Данное преобразование проводится в основном для того, чтобы в дальнейшем избавиться от одинаковых слагаемых, находящихся одновременно и в левой и в правой части уравнения. Приведем пример. Допустим перед нами иррациональное уравнение . Очевидно, что и в левой и в правой части уравнения присутствует слагаемое . Резонно вычесть это выражение из обеих частей уравнения: . В нашем случае при таком переходе не изменяется ОДЗ, поэтому проделанное преобразование является равносильным. А делается оно для того, чтобы дальше перейти к более простому иррациональному уравнению .

Следующее преобразование уравнений, которое мы затронем в этом пункте, это - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Это преобразование уравнения всегда равносильное. Сфера его применения довольно широка. С его помощью можно, например, уединить радикал или собрать подобные слагаемые в одной части уравнения, чтобы потом привести их и тем самым упростить вид уравнения. Приведем пример. Для решения иррационального уравнения можно перенести слагаемые −1 и в правую часть, изменив их знак, это даст равносильное уравнение , которое можно решать дальше, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Движемся дальше по пути рассмотрения преобразований уравнений к умножению или делению обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число используется в основном для перехода от дробей к целым числам. Например, чтобы в иррациональном уравнении избавиться от дробей следует умножить обе его части на 8 , что дает равносильное уравнение , которое дальше приводится к виду . Деление обеих частей уравнения проводится в основном с целью уменьшения числовых коэффициентов. Например, обе части иррационального уравнения целесообразно разделить на числовых коэффициентов 18 и 12 , то есть, на 6 , такое деление дает равносильное уравнение , от которого в дальнейшем можно перейти к уравнению , имеющему меньшие, но тоже целые коэффициенты.

Следующее преобразование уравнения – это умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Данное преобразование равносильное тогда, когда выражение, на которое производится умножение или деление, не изменяет область допустимых значений переменной и не обращается на ней в нуль. Обычно умножение обеих частей на одно и то же выражение по целям похоже на умножение обеих частей уравнения на одно и то же число. Наиболее часто к этому преобразованию прибегают, чтобы дальнейшими преобразованиями избавиться от дробей. Покажем это на примере.

Не обойдем стороной и иррациональные уравнения, для решения которых приходится прибегать к делению обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Чуть выше мы отметили, что такое деление является равносильным преобразованием, если оно не влияет на ОДЗ и это выражение на ОДЗ не обращается в нуль. Но иногда деление приходится проводить и на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Так вполне можно поступать, если при этом отдельно проверять нули этого выражения на предмет того, нет ли среди них корней решаемого уравнения, иначе при таком делении эти корни могут потеряться.

Последнее преобразование иррациональных уравнений, которое мы затронем в этом пункте, заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Это преобразование можно назвать типичным для иррациональных уравнений, так как практически не используется при решении уравнений других видов. Это преобразование мы уже упоминали в текущей статье, когда разбирали . Там же приведено и множество примеров проведения этого преобразования. Здесь не будем повторяться, а лишь напомним, что в общем случае это преобразование не является равносильным. Оно может приводить к появлению посторонних корней. Поэтому, если в процессе решения мы обращались к этому преобразованию, то найденные корни нужно обязательно проверить на наличие среди них посторонних корней.

О потере корней

Из-за чего может произойти потеря корней при решении уравнения? Главная причина потери корней – это проведение преобразований уравнения , при которых сужается ОДЗ. Для понимания этого момента обратимся к примеру.

Возьмем иррациональное уравнение , которое мы уже решили в рамках текущей статьи. Его решение мы начали с предостережения от проведения следующих преобразований уравнения

Первое же преобразование – переход от уравнения к уравнению – сужает ОДЗ. Действительно, ОДЗ для исходного уравнения есть (−∞, −3)∪[−1, +∞) , а для полученного - [−1, +∞) . Это влечет выпадение из рассмотрения промежутка (−∞, −3) и, как следствие, потерю всех корней уравнения из этого промежутка. В нашем случае при проведении указанного преобразования будут потеряны все корни уравнения, которых два и .

Итак, если преобразование уравнения приводит к сужению ОДЗ, то будут потеряны все корни уравнения, находящиеся в той части, на которую произошло сужение. Вот поэтому мы и призываем не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ. Однако есть одна оговорка.

Эта оговорка касается преобразований, при которых происходит сужение ОДЗ на одно или несколько чисел. Самым характерным преобразованием, при котором из ОДЗ выпадают несколько отдельных чисел, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Понятно, что при проведении подобного преобразования могут потеряться лишь корни, находящиеся среди этого конечного набора чисел, выпадающего при сужении ОДЗ. Поэтому, если отдельно проверить все числа этого набора на предмет того, есть ли среди них корни решаемого уравнения, например, путем подстановки, и включить найденные корни в ответ, то дальше можно проводить намеченное преобразование без боязни потери корней. Проиллюстрируем сказанное примером.

Рассмотрим иррациональное уравнение , которое тоже уже было решено в предыдущем пункте. Чтобы решить это уравнение методом введения новой переменной, полезно сначала провести деление обеих частей уравнения на 1+x . При таком делении из ОДЗ выпадает число −1 . Подстановка этого значения в исходное уравнение дает неверное числовое равенство (), откуда следует, что −1 не является корнем уравнения. После такой проверки можно спокойно проводить намеченное деление без боязни потерять корень.

В заключение этого пункта заметим, что наиболее часто при решении иррациональных уравнений к сужению ОДЗ приводит деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, а также преобразования, базирующиеся на свойствах корней. Так что нужно быть очень аккуратным при проведении таких преобразований и не допускать потери корней.

О посторонних корнях и способах их отсеивания

Решение подавляющего числа уравнений проводится через преобразование уравнений . Определенные преобразования могут приводить к уравнениям-следствиям , а среди решений уравнения-следствия могут быть корни, посторонние для исходного уравнения . Посторонние корни не являются корнями исходного уравнения, поэтому, они не должны попасть в ответ. Другими словами, они должны быть отсеяны.

Итак, если в цепочке преобразований решаемого уравнения есть хотя бы одно уравнение-следствие, то нужно позаботиться об обнаружении и отсеивании посторонних корней.

Методы обнаружения и отсеивания посторонних корней зависят от причин, вызывающих их потенциальное появление. А причин возможного появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений две: первая – это расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения, вторая – это возведение обеих частей уравнения в четную степень. Разберем соответствующие методы.

Начнем с методов отсеивания посторонних корней, когда причиной их возможного появления выступает только расширение ОДЗ. В этом случае отсеивание посторонних корней проводится одним из трех следующих способов:

• По ОДЗ. Для этого находится ОДЗ переменной для исходного уравнения и проверяется принадлежность ей найденных корней. Те корни, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
• Через условия ОДЗ. Записываются условия, определяющие ОДЗ переменной для исходного уравнения, и в них по очереди подставляются найденные корни. Те корни, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями, а те, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
• Через подстановку в исходное уравнение (или в любое равносильное ему уравнение). Найденные корни по очереди подставляются в исходное уравнение, те из них, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство, являются корнями, а те из них, при подстановке которых получается выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Давайте при решении следующего иррационального уравнения проведем отсеивание посторонних корней каждым из указанных способов, чтобы получить общее представление о каждом из них.

Понятно, что мы не будем каждый раз выявлять и отсеивать посторонние корни всеми известными способами. Для отсеивания посторонних корней мы будем выбирать самый подходящий способ в каждом конкретном случае. Например, в следующем примере отсеивание посторонних корней удобнее всего провести через условия ОДЗ, так как по этим условиям сложно найти ОДЗ в виде числового множества.

Теперь поговорим про отсеивание посторонних корней, когда решение иррационального уравнения проводится методом возведения обеих частей уравнения в четную степень. Здесь уже не выручит отсеивание через ОДЗ или через условия ОДЗ, так как оно не позволит отсеять посторонние корни, возникающие по другой причине – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Почему появляются посторонние корни при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень? Появление посторонних корней в этом случае следует из того, что возведение в одну и ту же четную степень обеих частей неверного числового равенства может давать верное числовое равенство. Например, неверное числовое равенство 3=−3 после возведения его обеих частей в квадрат становится верным числовым равенством 3 2 =(−3) 2 , что то же самое 9=9 .

С причинами появления посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень разобрались. Осталось указать, как в этом случае отсеиваются посторонние корни. Отсеивание в основном проводится через подстановку найденных потенциальных корней в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Продемонстрируем это на примере.

Но стоит иметь в виду еще один способ, позволяющий отсеять посторонние корни в случаях, когда возводятся в одну и ту же четную степень обе части иррационального уравнения с уединенным радикалом. При решении иррациональных уравнений , где 2·k – четное число, методом возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень, отсеивание посторонних корней можно проводить через условие g(x)≥0 (то есть, фактически решать иррациональное уравнение по определению корня). Такой метод часто выручает тогда, когда отсеивание посторонних корней через подстановку оказывается связанным со сложными вычислениями. Следующий пример является хорошей иллюстрацией сказанного.

Литература

1. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. - 112 с.-(Готовимся к ЕГЭ) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Выпускнику 2004. Математика. Сборник задач для подкотовки к ЕГЭ. Часть 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Куединская средняя общеобразовательная школа №2»

Способы решения иррациональных уравнений

Выполнила: Егорова Ольга,

Руководитель:

Учитель

математики,

высшей квалификационной

Введение ....……………………………………………………………………………………… 3

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений …………………………………6

1.1 Решение иррациональных уравнений части С……….….….……………………21

Раздел 2.Индивидуальные задания …………………………………………….....………...24

Ответы ………………………………………………………………………………………….25

Список Литературы …….…………………………………………………………………….26

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Одним из этих видов являются иррациональные уравнения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением . В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Виды иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений четной степени всегда вызывает больше проблем, чем решение иррациональных уравнений нечетной степени. При решении иррациональных уравнений нечетной степени изменение ОДЗ не происходит. Поэтому ниже будут рассматриваться иррациональные уравнения, степень которых является четной. Существует два вида иррациональных уравнений:

2..

Рассмотрим первый из них.

ОДЗ уравнения: f(x) ≥ 0. В ОДЗ левая часть уравнения всегда неотрицательна – поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x) ≥ 0. В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в степень 2 n дает равносильное уравнение. Мы получаем, что

Обратим внимание на то, что при этомОДЗ выполняется автоматически, и его можно не писать, а условие g(x) ≥ 0 необходимо проверять.

Примечание: Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений проверять условие f(x) ≥ 0 – неотрицательности подкоренного выражения. Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия g(x) ≥ 0 – неотрицательности правой части. Ведь после возведения в квадрат решается уравнение т. е. решаются сразу два уравнения (но на разных промежутках числовой оси!):

1. - там, где g(x) ≥ 0 и

2. - там, где g(x) ≤ 0.

Между тем многие, по школьной привычке находить ОДЗ, поступают при решении таких уравнений ровно наоборот:

а) проверяют, после нахождения решений, условие f(x) ≥ 0 (которое автоматически выполнено), делают при этом арифметические ошибки и получают неверный результат;

б) игнорируют условие g(x) ≥ 0 - и опять ответ может оказаться неверным.

Примечание: Условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решение тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия g(x) ≥ 0 не всегда просто сделать.

Рассмотрим второй вид иррациональных уравнений.

. Пусть задано уравнение . Его ОДЗ:

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение f(x) = g(x). Поэтому в ОДЗ или

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений

1 метод. Освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень

Наиболее часто применяемым методом решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение , множество решений которого представляет собой объединение множеств решений: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Решить уравнение:

Где - некоторые многочлены. В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height=21" height="21">..gif" width="243" height="28 src=">.

Так как обе части 1 уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни 2 уравнения будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

Решить уравнение:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Возводя обе части уравнения в куб, получим

Учитывая, что https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Последнее уравнение может иметь корни, которые, вообще говоря, не являются корнями уравнения ).

Возводим обе части этого уравнения в куб: . Перепишем уравнение в виде х3 – х2 = 0 ↔ х1 = 0, х2 = 1. проверкой устанавливаем, что х1 = 0 – посторонний корень уравнения (-2 ≠ 1), а х2 = 1 удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: х = 1.

2 метод. Замена смежной системой условий

При решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четного порядка, в ответах могут появится посторонние корни, выявить которые не всегда просто. Чтобы легче было выявить и отбросить посторонние корни, в ходе решений иррациональных уравнений его сразу же заменяют смежной системой условий. Дополнительные неравенства в системе фактически учитывают ОДЗ решаемого уравнения. Можно находить ОДЗ отдельно и учитывать его позднее, однако предпочтительнее применять именно смешанные системы условий: меньше опасность что-то забыть, не учесть в процессе решения уравнения. Поэтому в некоторых случаях рациональнее использовать способ перехода к смешанным системам.

Решить уравнение:

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Данное уравнение равносильно системе

Ответ: уравнение решений не имеет.

3 метод. Использование свойств корня n-ой степени

При решении иррациональных уравнений используются свойства корня n-ой степени. Арифметическим корнем n- й степени из числа а называют неотрицательное число, n- я степень числа которого равна а . Если n – четное(2n ), то а ≥ 0, в противном случае корень не существует. Если n – нечетное(2 n+1 ), то а – любое и = - ..gif" width="45" height="19"> Тогда:

2.

3.

4.

5.

Применяя любую из этих формул, формально (без учета указанных ограничений), следует иметь ввиду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение определено при f ≥ 0 и g ≥ 0 , а выражение - как при f ≥ 0 и g ≥ 0 , так и при f ≤ 0 и g ≤ 0.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1-5 «слева - направо» (как они написаны) приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появится посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 «справа – налево» недопустимы, так как возможно суждение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сводится к решению совокупности уравнений .

Из первого уравнения этой совокупности находим https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> откуда находим . Таким образом корнями данного уравнения могут быть только числа (-1) и (-2). Проверка показывает, что оба найденных корня удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: -1,-2.

Решите уравнение: .

Решение: на основании тождеств первое слагаемое заменить на . Заметить, что как сумма двух неотрицательных чисел левой части. «Снять» модуль и после приведения подобных членов решить уравнение. Так как , то получаем уравнение . Так как и , то и https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=">.gif" width="145" height="21 src=">

Ответ: х = 4,25.

4 метод. Введения новых переменных

Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить следующим образом:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Проверка состоит в следующем:

А) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения.

Б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения.

В) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.

Решить иррациональное уравнение:

.

Множество допустимых значений этого уравнения:

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно. Решая это уравнение, получим

.

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень х = 2 (проверка не требуется, так как все преобразования равносильны).

Ответ: х = 2.

Решить иррациональное уравнение:

Обозначим 2x2 + 5x – 2 = t. Тогда исходное уравнение примет вид . Возведя обе части полученного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение , являющееся следствием предыдущего. Из него находим t = 16 .

Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение 2x2 + 5x – 2 = 16, являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его корни х1 = 2 и х2 = - 9/2 являются корнями исходного уравнения.

Ответ: х1 = 2, х2 = -9/2.

5 метод. Тождественное преобразование уравнения

При решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Решить уравнение:

Множество допустимых значений данного уравнения:https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Разделим данное уравнение на .

.

Получим:

При а =0 уравнение решений иметь не будет; при уравнение может быть записано в виде

при данное уравнение решений не имеет, так как при любом х , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно;

при уравнение имеет решение

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением этого иррационального уравнения будет https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> решением уравнения будет . При всех остальных значениях х уравнение решений не имеет.

ПРИМЕР 10:

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Решение квадратного уравнения системы дает два корня: х1 = 1 и х2 = 4. первый из полученных корней не удовлетворяет неравенству системы, поэтому х = 4.

Примечания.

1) Проведение тождественных преобразований позволяет обходиться без проверки.

2) Неравенство х – 3 ≥0 относится к тождественным преобразованиям, а не к области определения уравнения.

3) В левой части уравнения стоит убывающая функция, а в правой части этого уравнения расположена возрастающая функция. Графики убывающей и возрастающей функций в пересечении их областей определения могут иметь не больше одной общей точки. Очевидно, что в нашем случае х = 4 является абсциссой точки пересечения графиков.

Ответ: х = 4.

6 метод. Использование области определения функций при решении уравнений

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> и найти ее область определения (f) ..gif" width="53" height="21">.gif" width="88" height="21 src=">, то нужно проверить верно ли уравнение на концах промежутка, причем, если а < 0, а b > 0, то необходима проверка на промежутках (а;0) и . Наименьшее целое число в Е(у) равно 3.

Ответ : х = 3.

8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений

Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.

ПРИМЕР 15:

Решите уравнение: (1)

Решение: Так как https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Рассмотрим функцию ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.

Ответ:

ПРИМЕР 16:

Решить иррациональное уравнение:

Область определения функции есть отрезок . Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке . Для этого найдем производную функции f(x) : https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условииhttps://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.

Ответ: х = 3.

9 метод. Функциональный

На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где - это некоторая функция.

Например, некоторые уравнения: 1) 2) . Действительно, в первом случае , во втором случае . Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х .

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго возрастает на множестве R, и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень

Ответ: х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решить иррациональное уравнение: (1)

В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству DIV_ADBLOCK109">

. (2)

Рассмотрим функцию https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго возрастает на этом множестве для любого ..gif" width="100" height="41"> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе

Зав. кафедрой математики ДВГГУ

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

Традиционно в контрольные измерительные материалы для проведения единого государственного экзамена по математике включаются задачи позволяющие проверить умения выпускников решать различные системы уравнений. Как правило, это системы из двух уравнений с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему могут быть как алгебраическими, в том числе иррациональными, так и трансцендентными. В рамках этой статьи рассмотрим основные методы решения систем с двумя переменными иррациональных, логарифмических и показательных уравнений.

Прежде чем непосредственно переходить к методам решения систем уравнений напомним основные определения и свойства различных функций, которые могут входить в уравнения системы.

Напомним, что два уравнения с двумя неизвестными образуют систему уравнений , если ставится задача о нахождении таких значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в систему вместо соответствующих переменных, получаются верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – означает найти все ее решения.

Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения, состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые приводят к равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то обязательна проверка найденных решений.

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Следует отметить, что

1. Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

Функции y = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> являются возрастающими на своей области определения.

При решении систем иррациональных уравнений используются два основных метода: 1) возведение обеих частей уравнений в одну и туже степень; 2) введение новых переменных.

При решении систем иррациональных уравнений первым методом следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является следствием первоначального, в связи с этим, в процессе решения могут появиться посторонние корни..gif" width="161" height="61">

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные. Пусть ……………………… (1),

тогда первоначальная система примет вид: ..gif" width="92" height="59">. Возведя обе части первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему: , откуда находим:

Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы является решением исходной системы.

Ответ: (6; 5)

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Введем новую переменную: положим …………………….(3) и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение от переменной : ..gif" width="56" height="23 src="> является посторонним, так как через обозначили арифметический корень..gif" width="84 height=27" height="27">. Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим : .

Подставим, полученное выражение во второе уравнение первоначальной системы: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, при этом, чтобы не расширить область допустимых значений полученного уравнения, потребуем, чтобы https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src=">.gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> является посторонним.

Найдем значение у при : https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Решение. 1. Заметим, что правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, т. е..gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Подставим их во второе уравнение и найдем значения переменной :

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, пара (10; 5) не является решением первоначальной системы.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Нетрудно убедиться в том, что найденная пара чисел является решением первоначальной системы.

Ответ: (-10; -5)

Для успешного решения показательных и логарифмических систем уравнений, вспомним определение и свойства логарифма.

Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .

Основные свойства логарифмов:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:

1) Область определения функции , где - всё множество действительных чисел; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - множество положительных действительных чисел.

2) Множество значений функции - множество положительных действительных чисел; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">обе функции возрастают; если - обе функции убывают.

Замечание. В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении показательных уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения ……….(1) к уравнению ;

2) введение новых переменных.

Иногда приходится применять искусственные приемы.

Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:

Если , то уравнение равносильно уравнению .

Перечислим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения к уравнению вида;

2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Решение простейшего логарифмического уравнения вида

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - единственный корень.

Для уравнения вида https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Пример 4. Найдите значение выражения , если пара является решением системы уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Так как уравнения системы содержат логарифмы по двум разным основаниям, перейдем к одному основанию 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, делаем вывод что - посторонний корень. Из первого уравнения последней системы находим значение при : https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Пример 5. Найдите наибольшую сумму , если пара является решением системы уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> из второго уравнения системы: ..gif" width="161" height="21">. Получили показательное уравнение от одной переменной.

Воспользуемся свойствами степени: . В уравнение входят степени с двумя разными основаниями. Стандартным приемом перехода к одному основанию является деление обеих частей уравнения на одну из степеней с наибольшим показателем..gif" width="164" height="49"> . Стандартным методом решения такого вида показательного уравнения является замена переменной. Пусть (замечаем, что на основании свойств показательной функции, значение новой переменной должно быть положительным), тогда получим уравнение https://pandia.ru/text/78/063/images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Решаем совокупность двух уравнений: . Получаем: ; .

Из уравнения https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Таким образом, пары и https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> и выберем из них наибольшую, которая очевидно равна 3.

Рассмотрим несколько примеров «комбинированных» систем уравнений в которые входят уравнения различных видов: иррациональные, логарифмические, показательные.

Пример 6. Решить систему уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Преобразуем систему, воспользовавшись свойствами степени и логарифма:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), тогда второе уравнение системы примет вид: . Решим это дробно-рациональное уравнение, учитывая, что . Получим: ; https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> через .

При https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src=">. Решим это уравнение: , так как должен быть положительным, то это посторонний корень; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, получаем .

При https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src=">. Мы уже нашли, что , следовательно равен нулю может быть только второй сомножитель произведения: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28">. Очевидно, что - посторонний корень. Следовательно, еще одним решением системы является пара .